Illustration Beyond Proof

Gelişmenin Ayrıntıları ve Kapsamı

Ocak ayında bir grup matematikçi, tarihçi, sanatçı ve eğitimci, Henri Poincaré Enstitüsü'nde (IHP) matematiksel anlam üzerine çok sıra dışı bir atölye çalışması için bir araya geldi. Matematiksel araştırmalarda illüstrasyonun kullanımına ilişkin özel üç aylık dönemin bir parçası olarak o haftaki odak noktamız şu soruyu sormaktı: Bir illüstrasyonun titiz olması ne anlama gelir [1]? Sadece altı ay sonra, insanın matematik pratiğinin tanımlarıyla ilgili çevredeki soru kümesinin bu kadar acil görüneceğini tahmin etmemiştik. Tartışmalarımız, yaz boyunca Leiden Bildirgesi [2] bağlamında yazılan ve artık Bildirilerde [3] kabul edilen bir makalenin ortaya çıkmasına yol açtı. Geçtiğimiz bir veya iki ay, bir insan olarak matematik yapmanın ne anlama geldiğine ve yakın gelecekte ne anlama geleceğine dair samimi bakış açılarının ortaya çıktığına tanık olduk. Matematikçi olmanın çok ve çeşitli önemli anlamlara sahip olduğu hararetli tartışmalardan açıkça görülüyor. Sembolik iletişimin ötesinde duyularımıza hitap eden bilgisayar grafikleri ve diğer medyaları içeren matematiksel illüstrasyon, bir matematikçinin prova yazmanın ötesine geçen faaliyetlerinden biridir. Bir disiplin olarak kendi mücadeleleri belki de matematiğin buradan itibaren nereye gidebileceğine dair bir fikir verebilir.

Nerede olduğumuzun bir özetiyle başlıyoruz. Bryna Kra [4] mevcut sorunun özünü anlatıyor. Uzun yıllar boyunca teorem üretimi başarının en önemli ölçüsü haline geldi. Pozisyonlar ve ödüller buna bağlıdır. Ancak her zaman ölçülmesi daha zor bir şeyin vekili olmuştur: anlayış. Derin teoremler nadir ve zor olduğundan derin düşünceyi güvenilir bir şekilde tanımladılar. Yapay Zekâ (AI) (AI) bu kıtlığı ortadan kaldırdı. Ona göre kanıt “bir hikaye, bir resim, bir içgörü, bir açıklamadır.” Silvia De Toffoli ve Eamon Duede [5] matematiğin artık makinelerin kazanabileceği bir oyun olduğu fikrini reddederek bu bakış açısını daha da keskinleştiriyorlar. Matematiğin amacı yalnızca doğrulanabilir bir çözüm değildir. Matematik, sonuçların kaydedildiği bir kayıt değil, “bilimsel bir topluluk tarafından ele alınan, yorumlanan ve sindirilen bir bilgi bütünüdür”. Matilde Marcolli [6] daha da ileri gidiyor: Büyük teoremler hiçbir zaman asıl mesele olmadı, yalnızca topluluğun seçtiği bir değer sistemiydi ve seçimler yeniden yapılabilir. Grant Sanderson [7] bunun pratikte ne anlama geldiğini soruyor: Matematiksel çalışmanın ve anlayışın aldığı diğer biçimlere gerçek anlamda nasıl itibar edebiliriz?

Geçmişte diğer bilme biçimlerine itibar edilmişti. Makalemiz on dokuzuncu yüzyılda Gaspard Monge'un École Polytechnique'inde matematik eğitiminde gerekli olan el çizimi ile başlıyor. Ocak ayındaki çalıştayda tarihçi Frédéric Brechenmacher şunu açıkça ortaya koydu: "Çizmek bilmekti." [8] Bu geleneğin yirminci yüzyılda nasıl bir kenara bırakıldığını, ancak yine de devam ettiğini, kısmen 1990'larda matematikte kanıt ve anlam ilişkisi üzerine daha yeni bir tartışmada ortaya çıktığını izliyoruz. O zamanlar, Arthur Jaffe ve Frank Quinn'in [9] etkili bir makalesine yanıt olarak birçok matematikçi, en ünlüsü Bill Thurston olmak üzere düşüncelerini ifade etti. Şimdilerde çokça alıntılanan “On Proof and Progress in Mathematics” adlı eserinde [10] Jaffe ve Quinn'in eleştirilerine karşı çalışmasını savundu. Diğer yanıtların çoğu da okumaya değerdir [11]. De Toffoli ve Duede'nin alanı olan Matematiksel Uygulama Felsefesi [12], bu soruları topluluk genelinde sistematik olarak inceler.

Cebirsel sayı yıldız manzaraları: rasyonel kübik polinomların karmaşık kökleri. Sağdaki görüntü Steve Trettel'in gölgelendiricisidir; shadertoy'daki kod.

Illustraten Mathematics topluluğu, bu çizim ve matematiksel nesneler yapma geleneğinden gelişti. 2019 yılında ICRM'de bir dönem boyunca şekillendi ve bu yıl IHP üç aylık dönemini düzenlemeye devam etti [13]. Matematiğin görsellerini, modellerini, yazılımlarını ve deneyimlerini aktif olarak geliştiren matematikçileri bir araya getiriyor. Özellikle odaklanılan nokta, bir araştırma yöntemi olarak illüstrasyonun oynadığı rol olmuştur: matematiği sadece açıklamak değil, keşfetmek. İyi bir kanıt, sonuçtan daha fazlasını gösterdiği gibi, iyi bir illüstrasyon da bir biçim veya modeli göstermekten çok daha fazlasını yapar.

Yukarıdaki görüntüler de dahil olmak üzere cebirsel yıldız manzaraları üzerine kendi çalışmamız [14] mütevazı bir örnektir (Steve Trettel ve Jayadev Athreya, Gabriel Dorfsman-Hopkins ve Claudio Gonzalez'in katılımıyla). Resimler rasyonel kübik polinomların karmaşık köklerinin ayrıntılı yapısını göstermektedir. Görüntüyü çizmek için gölgelendiricileri kullanmaya başladığımızda (sağda), kodun basit bir ilk taslağı, daireleri elipslere dönüştürdü. Ancak kasıtsız çarpıtmanın anlamlı yapının ekstra bir boyutunu ortaya çıkardığını fark ettik. Bu resimler zaten bilinenleri açıklamaktan ziyade, keşfedilmemiş matematiği göstermektedir.

Elbette hem kanıt hem de illüstrasyon yanıltıcı olabilir, özellikle araştırmada. Yüksek Lisans'ın yeteneklerinin bir bedeli vardır. İllüstrasyon söz konusu olduğunda, kod üretme yetenekleri, illüstrasyonu her zamankinden daha erişilebilir hale getiriyor. Ancak titreşim kodlamasıyla artık bilgiden iki adım uzaktayız: Yaratılış algoritmasının kendisi bile anlaşılamayabilir.

Kanıt durumunda, bu “sindirim” sorunu artık ön plandadır. Bu ay [15], Ioannis Tsiokos'un yönlendirmesiyle GPT-6 Astra, ilk üç boyutlu periyodik olmayan monotil olan Sandalye44'ü buldu. Tsiokos 61 sayfalık bir makale paylaştı [16]. Sezgisel geometrik argümanı anladığını ancak matematiği anlayamadığını söylüyor. Chaim Goodman-Strauss daha sonra argümanı, süpertil yapıyı görünür kılan eşleşen oklardan oluşan bir diyagram etrafında inşa edilmiş sekiz sayfaya [17] damıttı ve periyodik olmayanlığın klasik hiyerarşik bir kanıtını verdi. Şeklin çizimi (Tsiokos'un makalesinde), ana fikrin ortaya çıkarılmasında kritik bir ipucuydu.

Peki asıl sorumuza dönecek olursak, bu sorunlar karşısında bir illüstrasyon nasıl titiz olabilir? Makalede, Valeria Giardino'nun temsilleri düşünce araçları olarak değerlendiren açıklamasından yararlanıyoruz (Endeavour 42, 2018) [18] ve bu açıklama, bir illüstrasyonun sağladığı olanakları, yani figürün davet ettiği okumaları, manipülasyonları ve çıkarımları dikkate alıyor. Sağlanabilirliklerin daha güçlü bir tanımını seçebiliriz: Bir kanıtın doğru olduğunu onayladığı illüstrasyonun özellikleri. Tersine, deliller görünürdeki bir özelliğin bir yeterlilik olmadığını gösterebilir. Örneğin, Mandelbrot kümesinin ilk görüntüleri bağlantısının kesildiğini gösteriyor gibi görünüyordu [19], ancak pikselli bir görüntüde pikseller arasındaki adımdan daha ince bir özellik gözden kaçırılabilir [20]. Öte yandan, ana kardioid üzerinde belirli bir boyuttaki ampullerin sayısı gibi özelliklerin, piksel boyutunun karşılaştırıldığında küçük olması koşuluyla doğru olduğu kanıtlanabilir.

Recep Usta OS — Sistem & Mühendislik Değerlendirmesi